//给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。
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// 返回 你可以获得的最大乘积 。
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// 示例 1:
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//输入: n = 2
//输出: 1
//解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
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// 示例 2:
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//输入: n = 10
//输出: 36
//解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
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// 提示:
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// 2 <= n <= 58
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//leetcode submit region begin(Prohibit modification and deletion)
function integerBreak(n: number): number {

    /*
    1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
    dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

    dp[i]的定义将贯彻整个解题过程，下面哪一步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是啥！

    2.确定递推公式
    可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？

    其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].

    一个是j * (i - j) 直接相乘。

    一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。

    那有同学问了，j怎么就不拆分呢？

    j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

    也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。

    如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。

    所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});

    那么在取最大值的时候，为什么还要比较dp[i]呢？

    因为在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，取最大的而已。

    3.dp的初始化
    不少同学应该疑惑，dp[0] dp[1]应该初始化多少呢？

    有的题解里会给出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解释比较牵强，主要还是因为这么初始化可以把题目过了。

    严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。

    拆分0和拆分1的最大乘积是多少？

    这是无解的。

    这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！

    4.确定遍历顺序
    确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

    dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
     */


    /**
     dp[i]: i对应的最大乘积
     dp[2]: 1;
     ...
     dp[i]: max(
     1 * dp[i - 1], 1 * (i - 1),
     2 * dp[i - 2], 2 * (i - 2),
     ..., (i - 2) * dp[2], (i - 2) * 2
     );
     */
    const dp: number[] = new Array(n + 1).fill(0);
    dp[2] = 1;
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        for (let j = 1; j <= i / 2; j++) {
            // 这里有多次比较 所以max里有dp[i]。j*(i-j) 表示不拆分的相乘结果 j * dp[i - j]表示拆分i-j得到的最大乘积
            dp[i] = Math.max(dp[i], j * dp[i - j], j * (i - j));
        }
    }
    return dp[n];
};
//leetcode submit region end(Prohibit modification and deletion)
